Veo, escucho y escribo sobre modelos 1 a 1

Webinar 2010. Inés Dussel 1 parte. Flacso Argentina from webinar2010 on Vim





La inclusión digital, el que cada uno tenga y pueda acceder a una computadora es muy importante. Pero para que llevar esta meta a cabo también es fundamental enseñar a vivir en una cultura digital, y la escuela puede plantear discusiones, dilemas éticos etc, y en términos pedagógicos preguntarse qué se aprende con esto, y si una sociedad puede soportar que cada uno haga la explosión que quiera.

El primer cambio es la organización del aula, el tiempo y el horario escolar, plantear aulas con más interacción, pupitres ordenados en ronda por ejemplo para salir de lo cotidiano.

Museos Virtuales

Nombre y Apellido: María Julieta Olivera

Materia: Matemática

Año: 4to

Objetivos:

●Incorporar las Tics a las clases

●Resolver problemas que modelizan fenómenos aleatorios

●Producir y analizar fórmulas que surgen al generalizar tipos de problemas de combinatoria

●Usar de manera pertinente los conceptos asociados a la probabilidad como para obtener resultados fiables.

Actividad:

Trabajar en grupos de 4 personas cada uno con su netbook

Ingresar a http://mate.dm.uba.ar/~lechague/mateuba.htm que es la página del Museo Interactivo de Matemática, y luego a la opción 8 “Posters de problemas matemáticos”.

Resolver los problemas planteados en los posters que traten los temas de variaciones, permutaciones y probabilidades  sacando conclusiones con lo visto en clase. Una vez terminado hacemos una puesta en común para ver los resultados obtenidos por todos los grupos.

Observaciones:

El trabajo debe entregarse por escrito en forma individual pegando cada uno los posters incluyendo las conclusiones grupales que hayan sacado.

Presentación

Hola, soy profe de matemática, trabajo en tres colegios secundarios municipales y esta es la primera vez que creo un blog, espero que les guste!

Falleció Benoît Mandelbrot

Es probable que nunca hayas escuchado hablar de este hombre que acaba de morir. Nos ocurre a menudo que solemos deslumbrarnos con bellezas artísticas o con genialidades científicas y nunca tomamos verdadera conciencia que detrás de cada trabajo hay un ser humano que vive, goza, sufre y como a todos nos ocurrirá algún día, muere. Este es el caso de  Benoît Mandelbrot, un brillante matemático conocido por sus trabajos con los fractales, definidos con anterioridad por Gaston Julia, pero popularizados por Mandelbrot a quién se le atribuye el mérito de ser el primero en trabajar con ordenadores para estudiar la fractalidad. Dueño de una carrera profesional envidiable nos abandonó este sábado a los 85 años víctima de un cáncer de páncreas. El padre de la geometría fractal ha dejado este mundo pero su legado perdurará por siempre.

Benoit Mandelbrot, un matemático franco-estadounidense que exploró una nueva clase de formas matemáticas conocidas como "fractales", acaba de morir a los 85 años en Cambridge, Massachusetts (noreste de Estados Unidos), según informa este domingo The New York Times. Su esposa Aliette dijo al diario que Mandelbrot murió de cáncer de páncreas en una clínica. Su libro fundamental, "The Fractal Geometry of Nature" (La Geometría Fractal de la Naturaleza), publicado en 1982, sostiene que los objetos matemáticos irregulares que eran descartados como "patológicos", son en realidad un reflejo de la naturaleza. La geometría fractal que desarrolló se usaría para medir fenómenos naturales como nubes o costas. Mandelbrot "fue uno de los primeros que se dio cuenta de que éstos eran objetos legítimos de estudio", dijo a The New York Times, David Mumford, profesor de matemáticas de la Universidad Brown.

Profesor en muchas universidades, su carrera cobró notoriedad por el estudio de los los "fractales"

Mandelbrot había nacido en Varsovia, Polonia, un 20 de noviembre de 1924, pero vivió en Francia desde su infancia. Cuando su familia emigra a Francia en 1936 su tío Szolem Mandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France, se hace cargo de su educación. Se doctoró en matemáticas en la Universidad de París en el año 1952. Posteriormente fue parte del MIT y luego del Instituto de Estudios Avanzados de Pricenton, donde fue el último estudiante de post-doctorado a cargo de John von Neumann. Después de diversas estancias en Ginebra y París acabó trabajando en IBM Research. Fue profesor de economía en la Universidad Harvard, de ingeniería en Yale, de fisiología en el Colegio Albert Einstein de Medicina, y de matemáticas en París y Ginebra. Desde 1958 trabajó en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York.

Impartiendo su cátedra en el MIT

En un libro seminal, "La Geometría Fractal de la Naturaleza", publicado en 1982, el Dr. Mandelbrot defendió ciertos objetos matemáticos donde hablaba de lo que otros habían descartado como "monstruoso" y "patológico". Gracias al uso de la geometría fractal, argumentó, la complejidad de los contornos de las nubes y costas, alguna vez considerados inconmensurables, ahora podrían "ser abordados de manera cuantitativa, rigurosa y enérgica". Además, para la mayoría de sus colegas, tenía fama de poseer una extraña capacidad de creación dentro del campo de la matemática. El Dr. Mandelbrot comenzó sus trabajos de investigación en los fractales cuando un joven investigador le hizo una sencilla pregunta: “¿cuánto mide la costa de Gran Bretaña?”. La respuesta lo sorprendió al descubrir, que depende de qué tan cerca se pueda mirar o ver. En un mapa la costa de la isla puede parecer suave, pero al acercar la mirara se revelarán bordes dentados que se suman a una costa más larga. Ampliando la escala, cada detalle vuelven aún más gigantes las dimensiones de la costa.

Durante casi siete décadas, en colaboración con decenas de científicos, el Dr. Mandelbrot contribuyó en los campos de la geología, la medicina, la cosmología y la ingeniería. Él utilizó la geometría de fractales para explicar cómo las galaxias se agrupan, cómo los precios del trigo cambian con el tiempo y cómo los cerebros de los mamíferos se apretan y arrugan medida que crecen, entre otros fenómenos. Su influencia se ha sentido también en el campo de la geometría, donde fue uno de los primeros en utilizar gráficos por ordenador para estudiar los objetos matemáticos como el conjunto de Mandelbrot, que fueron así nombrados en su honor. "Decidí entrar en ámbitos en los que los demás matemáticos no irían", dijo el doctor Mandelbrot. "He jugado un papel extraño que ninguno de mis alumnos se atreven a tomar y continuar"

Cuando se le preguntó sobre mirar hacia atrás en su carrera, el Dr. Mandelbrot comparó su propia trayectoria con los esbozos de las nubes y las costas. Fenómenos que lo llevaron al estudio de los fractales en la década de 1950. "Si se toma el principio y el fin, he tenido una carrera convencional", dijo refiriéndose a sus citas prestigiosas de París y en Yale. "Pero no era una línea recta entre el comienzo y el fin. Era una línea muy torcida."

Los fractales del conjunto de Mandelbrot

Existen objetos -como las nubes, las montañas o las líneas costeras- que resultan extraordinariamente complicados de ser modelados matemáticamente. El caos que contienen hacen que la matemática tradicional sea incapaz de abordarlos correctamente. Afortunadamente, existe una rama especial de las matemáticas que se ocupa de estos temas, cuyo exponente más representativo son los fractales del conjunto de Mandelbrot, que nos abren una puerta hacia un maravilloso y desconocido mundo.

Cuando vemos un árbol, una nube o una montaña, no tenemos dudas que ese objeto que tenemos enfrente es -efectivamente- un árbol, una nube o una montaña. Es extraño que esto suceda, por que se trata de objetos que nunca se repiten. Por más que busquemos, jamás veremos dos que sean exactamente  iguales. Sin embargo, tienen determinadas propiedades que nos permiten reconocerlos como tales. El conjunto de esas propiedades comunes coincide con los de unos objetos matemáticos descubiertos hace más de 100 años, que se llaman, en general, fractales. El exponente más conocido de los fractales es el conjunto de Mandelbrot.

Estos objetos casi siempre pueden construirse a partir de una figura inicial o “semilla”

La historia de los fractales comienza en 1872, con la aparición de la función de Weierstrass. En esa época no existía el concepto de fractal, pero su grafo contiene, sin dudas, características que lo convierten en miembro de ese club. Posteriormente se descubrieron objetos con propiedades similares, casi siempre como curiosidades matemáticas pero con una definición más estricta desde el punto de vista geométrico.

Estos objetos casi siempre pueden construirse a partir de una figura inicial o “semilla”, a la que se aplican una serie de transformaciones geométricas sencillas. Cuando el numero de pasos es lo suficientemente alto, la figura obtenida es lo que hoy llamamos un fractal. En 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass, a la que llamo “el copo de nieve de Koch”. Años más tarde, en 1915, Waclaw Sierpinski construyó su famoso triángulo y, un año después, su alfombra. Pero todos esos objetos empalidecen a la par de los descubiertos en 1975 por el matemático Benoît Mandelbrot.

Una serie de transformaciones geométricas sencillas producen esto.

Mandelbrot se inspiró en los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia, que en los años 1920 ya habían logrado construir fractales sumamente complejos a partir de la aplicación reiterada de funciones holomorfas. No vamos a mostrarte aquí las ecuaciones, pero no son tan complejas como los gráficos pueden hacer presuponer.

Un fractal debe poseer detalles apreciables a cualquier escala de observación.

En la actualidad, se dice que un objeto matemático es un fractal si cumple con las siguientes condiciones: ser lo suficientemente irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales, poseer detalles apreciables a cualquier escala de observación, ser autosimilar (sus partes se parecen al todo), poseer una dimensión de Hausdorff-Besicovitch mayor que su dimensión topológica y poder ser definido mediante un simple algoritmo recursivo.

Las imágenes en 3D son increíbles.

No nos basta con cumplir solo una o algunas de estas estas características para que un objeto sea considerado un fractal. La recta, por ejemplo,  no se considera un fractal, ya que a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de las características enumeradas. Actualmente, los ordenadores y su potencia de cálculo han hecho posible la generación de imágenes fractales con prácticamente cualquier nivel de detalle y en tiempos relativamente cortos.

¿Brócoli? No. ¡Un fractal!

Lejos han quedado los tiempos en que Fatou o Julia se quemaban las pestañas frente a un papel intentando dibujar sus fractales. Un algoritmo (en pseudocódigo) como el siguiente permite crear  fractales del conjunto de Mandelbrot en dos dimensiones:

For each pixel on the screen do:
{
  x0 = x co-ordinate of pixel
  y0 = y co-ordinate of pixel
  x = 0
  y = 0

  iteration = 0
  max_iteration = 1000

  while ( x*x + y*y <= (2*2)  AND  iteration < max_iteration )
  {
    xtemp = x*x - y*y + x0
    y = 2*x*y + y0
    x = xtemp
    iteration = iteration + 1
  }

  if ( iteration == max_iteration )
  then
    color = black
  else
    color = iteration
  plot(x0,y0,color)
}

Cualquiera que haya escrito alguna vez un simple programa en BASIC o C puede adaptar este algoritmo en minutos para dibujar sus propios fractales. Pero en tiempos más recientes, algunos programadores han comenzado a generar estas figuras utilizando tres dimensiones. El algoritmo es mucho más complicado y escapa al nivel de este pequeño artículo, pero las imágenes obtenidas son de una belleza innegable.

 Otro ejemplo de un fractal tridimensional.

Como puedes ver, la matemática no tiene porque ser fría o aburrida. Tíos como Benoît Mandelbrot o  Gaston Julia han convertido los no siempre queridos números en objetos tan ricos y complejos que algunos hasta los consideran obras de arte. ¿Qué te parece?